Question

20．設(shè)A、B分別為橢圓（a,b＞0）的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且x=4為它的右準(zhǔn)線。

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)P為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)，若直線AP、BP分別與橢圓相交于異于A、B的點(diǎn)M、N，證明點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。

（此題不要求畫(huà)圖）

Answer 1

20．本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問(wèn)題的能力。

解：（Ⅰ）依題意得解得從而b=。

故橢圓方程為。

（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（-2，0）B（2，0）。設(shè)M（

∵M(jìn)點(diǎn)在橢圓上，∴                 ①

 又M點(diǎn)異于項(xiàng)點(diǎn)A，B，∴

由P、A、M三點(diǎn)共線可得P（4，），

從而

∴().        ②

將①式代入②式簡(jiǎn)化得  

∵2-x₀＞0，∴＞0，于是∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。

解法2：由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0），設(shè)則直線AP的方程為直線BP的方程為

∵點(diǎn)M、N分別在直線AP、BP上，

∴從而         ③

聯(lián)立消去y得（27+）

∵是方程的兩根，∴（-2）·    ①

又

于是由③，④式代入⑤式化簡(jiǎn)可得

∵N點(diǎn)在橢圓上，且異于頂點(diǎn)A、B，∴

又∵∴＞0，從而＜0，故∠MBN為鈍角，即點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。

解法3：由（Ⅰ）得則又MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（