Question

如圖，直二面角D—AB—E中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AE=EB，F(xiàn)

為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE.

   （Ⅰ）求證：AE⊥平面BCE；

   （Ⅱ）求二面角B—AC—E的余弦值；

   （Ⅲ）求點(diǎn)D到平面ACE的距離.

Answer 1

（Ⅰ）證明見(jiàn)解析（Ⅱ）（Ⅲ）

解析:

19．解法一：（Ⅰ）平面ACE.   

∵二面角D—AB—E為直二面角，且， 平面ABE.

 

（Ⅱ）連結(jié)BD交AC于C，連結(jié)FG，

∵正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，∴BG⊥AC，BG=，

平面ACE，

（Ⅲ）過(guò)點(diǎn)E作交AB于點(diǎn)O. OE=1.

∵二面角D—AB—E為直二面角，∴EO⊥平面ABCD.

設(shè)D到平面ACE的距離為h， 

平面BCE， 

∴點(diǎn)D到平面ACE的距離為

解法二：（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，OE所在直

線為x軸，AB所在直線為y軸，過(guò)O點(diǎn)平行

于AD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系

O—xyz，如圖.

面BCE，BE面BCE， ，

在的中點(diǎn)，

 設(shè)平面AEC的一個(gè)法向量為，

則解得

         令得是平面AEC的一個(gè)法向量.

         又平面BAC的一個(gè)法向量為，

         ∴二面角B—AC—E的大小為

（III）∵AD//z軸，AD=2，∴，

∴點(diǎn)D到平面ACE的距離