Question

12．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為DD₁的中點(diǎn)．
（1）求二面角B₁-AC-E的大�。�
（2）求點(diǎn)B到平面AEC的距離．

Answer 1

分析 （1）取AC的中點(diǎn)O，連接EO，B₁O，B₁E，則EO⊥AC，B₁O⊥AC，∠B₁OE是二面角B₁-AC-E的平面角，即可求二面角B₁-AC-E的大��；
（2）由等體積可求點(diǎn)B到平面AEC的距離．

解答 解：（1）取AC的中點(diǎn)O，連接EO，B₁O，B₁E，則EO⊥AC，B₁O⊥AC，
∴∠B₁OE是二面角B₁-AC-E的平面角，
∵EO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，B₁O=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，B₁E=$\frac{3}{2}$，
∴cos∠B₁OE=$\frac{\frac{3}{4}+\frac{6}{4}-\frac{9}{4}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}}$=0，
∴∠B₁OE=90°，即二面角B₁-AC-E的平面角是90°；
（2）設(shè)點(diǎn)B到平面AEC的距離為h，則
∵S_△AEC=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，S_△ABC=$\frac{1}{2}$，
∴由等體積可得，$\frac{1}{3}$•S_△ABC•ED=$\frac{1}{3}$S_△AEC•h，即$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{6}}{4}h$，
∴h=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角平面角的計(jì)算，考查點(diǎn)面距離的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定二面角的平面角，正確運(yùn)用等體積法是關(guān)鍵．