Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a，b為實(shí)數(shù)，a≠0，x∈R）．
（1）當(dāng)函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（-1，0），且方程f（x）=0有且只有一個(gè)根，求f（x）的表達(dá)式；
（2）若F（x）=

f(x)x＞0 -f(x)x＜0

當(dāng)mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函數(shù)f（x）為偶函數(shù)時(shí)，試判斷F（m）+F（n）能否大于0．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題（1）根據(jù)函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（-1，0）得到一個(gè)方程，再根據(jù)方程f（x）=0有且只有一個(gè)根得到根的判別式為0，又得到一個(gè)方程，聯(lián)列方程組，解方程組，得到本題結(jié)論；（2）根據(jù)條件判斷F（m）+F（n）在什么條件下大于0，或者證明F（m）+F（n）≤0，得出本題結(jié)論．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax²+bx+1圖象過(guò)點(diǎn)（-1，0），
∴a-b+1=0．
∵方程f（x）=0有且只有一個(gè)根，
∴△=b²-4a=0．
∴

a=1 b=2

，
∴函數(shù)f（x）=x²+2x+1．
（2）結(jié)論：F（m）+F（n）＞0恒成立．以下證明．
∵函數(shù)f（x）=ax²+bx+1為偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
∴b=0，
∴f（x）=ax²+1．
∵F（x）=

f(x)x＞0 -f(x)x＜0

，
∴F（x）=

ax2+1，x＞0 -ax2-1，x＜0

，
∴y=F（x）有單調(diào)增區(qū)間（-∞，0）和（0，+∞）．
當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0，F(xiàn)（-x）=-a（-x）²-1=-（ax²+1）=-F（x）；
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，F(xiàn)（-x）=a（-x）²+1=-（-ax²-1）=-F（x），
∴y=F（x），x∈（-∞，0）∪（0，+∞），為奇函數(shù)．
∵mn＜0，
∴m、n異號(hào)，
不妨設(shè)m＞0，則n＜0．
∵m+n＞0，
∴m＞-n＞0，
∴F（m）＞F（-n），
∴F（m）＞-F（n），
∴F（m）+F（n）＞0恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性、函數(shù)圖象與方程的根，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．