Question

(本小題共12分）

在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量a=（x，y+1），向量b=（x，y—1），a⊥b,動點M

（x，y）的軌跡為E。

（Ⅰ）證明：存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點

A、B，且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點），并求出該圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線l與圓C：x+y=R（1＜R＜2）相切于A，且l與軌跡E只有一個

公共點B，當(dāng)R為何值時，| AB|取得最大值？并求出最大值。

Answer 1

（Ⅰ）由得

∴M軌跡E的方程為…………1分

設(shè)圓的切線y=kx+t,代入x²+4y²=4得（1+4k²）x²+8ktx+4(t²-1)=0

直線與圓兩交點A（x₁，y₁）,B（x₂,y₂）

則△＞0，t²＜4k²+1     ①

又由得x₁x₂+y₁y₂=0可得5t²=4(k²+1)     ②

②代入①   4(k²+1) ＜20k²+5恒成立………………4分

又由得：

故所求圓的方程為…………5分

當(dāng)切線斜率k不存在時，切線為

與橢圓x²+4y²=4交于也滿足

綜合上述所求圓為…………6分

（Ⅱ）直線l:y=kx+t，圓x²+y²=R²切于A₁，則

∴t²=R²(1+k²)     ③

又l與橢圓x²+4y²=4有唯一公共點B₁

∴有唯一解

∴△=0，即4k²-t²+1=0  ④

由③④得

當(dāng)僅當(dāng)時………………12分