Question

5．如果方程x⁶+px⁴+qx²-225=0有6個根，且這6個根成等差數(shù)列，則q=$\frac{361}{2}\root{3}{4}$．

Answer 1

分析 注意x次數(shù)均為偶數(shù)，故方程的實根必為成對的相反數(shù)，設(shè)為-c，-b，-a，a，b，c，則由公差為2d，可得a=2d，b=3d，c=5d，所以x⁶+px⁴+qx²-225=（x²-4d²）（x²-9d²）（x²-25d²），可得d⁴=$\frac{\root{3}{4}}{2}$，即可求出q．

解答 解：注意x次數(shù)均為偶數(shù)，故方程的實根必為成對的相反數(shù)，設(shè)為-c，-b，-a，a，b，c，
則由公差為2d，可得a=2d，b=3d，c=5d，
所以x⁶+px⁴+qx²-225=（x²-4d²）（x²-9d²）（x²-25d²），
所以4×9×25d⁶=225，
所以d⁴=$\frac{\root{3}{4}}{2}$
所以q=[（-4）×（-9）+（-4）×（-25）+（-9）×（-25）]d⁴=$\frac{361}{2}\root{3}{4}$．
故答案為：$\frac{361}{2}\root{3}{4}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查學生的計算能力，比較基礎(chǔ)．