Question

已知數(shù)列{a_n}的首項為1，f(n)=a1

C

1 n

+a2

C

2 n

+…+ak

C

k n

+…+an

C

n n

（n∈N₊）．
（1）若{a_n}為常數(shù)列，求f（4）的值；
（2）若{a_n}為公比為2的等比數(shù)列，求f（n）的解析式；
（3）數(shù)列{a_n}能否成等差數(shù)列，使得f（n）-1=（n-1）2ⁿ對一切n∈N₊都成立．若能，求出數(shù)列{a_n}的通項公式；若不能，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù){a_n}為常數(shù)列，且首項為1，可得它的通項公式．
（2）若{a_n}為公比為2的等比數(shù)列，則a_n=2^n-1，（n∈N₊），用二項式定理以及倒序相加法求得f（n）的解析式．
（3）假設(shè)數(shù)列{a_n}能否成等差數(shù)列，使得f（n）-1=（n-1）2ⁿ對一切n∈N₊都成立，設(shè)公差為d，用倒序相加法求得f（n）的解析式為 1+（n-1）2ⁿ ，可得（d-2）+[2+（n-2）d]•2^n-1=0 n∈N₊都成立，可得d=2，從而求得數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答：解：（1）∵{a_n}為常數(shù)列，且首項為1，故有a_n=1，
∴f（4）=

C

1 4

+

C

2 4

+

C

3 4

+

C

4 4

=15．
（2）若{a_n}為公比為2的等比數(shù)列，則a_n=2^n-1，（n∈N₊）．
f(n)=a1

C

1 n

+a2

C

2 n

+…+ak

C

k n

+…+an

C

n n

=

C

1 n

+21

C

2 n

+…+2k-1

C

k n

+…+2n-1

C

n n

，
故1+2f（n）=1+

2C

1 n

+22

C

2 n

+…+2k

C

k n

+…+2n

C

n n

=（1+2）ⁿ=3ⁿ，
∴f（n）=

3n-1

2

．
（3）假設(shè)數(shù)列{a_n}能否成等差數(shù)列，使得f（n）-1=（n-1）2ⁿ對一切n∈N₊都成立．
設(shè)公差為d，則 f(n)=a1

C

1 n

+a2

C

2 n

+…+ak

C

k n

+…+an

C

n n

 ①，
且 f(n)=an

C

n n

+an-1

C

n-1 n

+…+an-k

C

n-k n

+…+a1

C

1 n

  ②，
把①、②相加可得 2f（n）=2a_n+（a₁+a_n-1）（

C

1 n

+

C

2 n

+

C

3 n

+…+

C

n-1 n

）
∴f（n）=a_n+

a1+an-1

2

（

C

1 n

+

C

2 n

+

C

3 n

+…+

C

n-1 n

） 
=a_n+

a1+an-1

2

（2ⁿ-2）=1+（n-1）d+[2+（n-2）d]（2^n-1-1）．
∴f（n）-1=（d-2）+[2+（n-2）d]]•2^n-1=（n-1）2ⁿ 恒成立．
即 （d-2）+（d-2）•[n+2]•2^n-1=0 n∈N₊都成立，∴d=2，
故存在數(shù)列{a_n}使得f（n）-1=（n-1）2ⁿ對一切n∈N₊都成立，且通項公式為a_n=2n-1．（其它方法相應(yīng)給分）

點評：本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，等差關(guān)系的確定，等差數(shù)列的通項公式，屬于中檔題．