Question

已知函數f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R）．
（1）若函數f（x）的最小值是f（-1）=0，f（0）=1，且對稱軸是x=-1，求g（2）+g（-2）的值；
（2）在（1）條件下，求f（x）在區(qū)間[t，t+2]（t∈R）上的最小值f（x）_min．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（-1）=0，f（0）=1，且對稱軸是x=-1，根據二次函數的對稱軸公式及函數值得到關于a，b及c的方程組，求出方程組的解集即可得到a，b及c的值，從而確定出f（x）的解析式，進而得到g（x）的解析式，由2大于0代入g（x）=f（x）中求出g（2）的值，由-2小于0，把x=-2代入g（x）=-f（x）中求出g（-2）的值，即可求出所求式子的值；
（2）根據頂點橫坐標1小于t，1在區(qū)間[t，t+2]，以及1大于t+2，分三種情況根據二次函數的單調性，利用求最值的方法分別求出兩種情況下f（x）的最小值，聯立得到f（x）的最小值關于t的分段函數解析式．
解答：解：（1）∵，即，
解得：，
∴f（x）=（x+1）²，（3分）
∴，
∴g（2）+g（-2）=8；（6分）
（2）當t+2≤-1時，即t≤-3時f（x）=（x+1）²在區(qū)間[t，t+2]上單調遞減．
f（x）_min=f（t+2）=（t+3）²（8分）
當t＜-1＜t+2時，即-3＜t＜-1時f（x）=（x+1）²在區(qū)間[t，-1]上單調遞減，
f（x）=（x+1）²在區(qū)間[-1，t+2]上單調遞增，
f（x）_min=f（-1）=0（10分）
當t≥-1時，f（x）=（x+1）²在區(qū)間[t，t+2]上單調遞增，
f（x）_min=f（t）=（t+1）²（12分）
綜上所述：．（14分）
點評：此題考查了二次函數的性質，以及二次函數在閉區(qū)間上的最值．要求學生利用待定系數法求f（x）的解析式，采用分類討論的數學思想分情況考慮f（x）的最小值．學生在求f（x）最小值時，注意考慮在閉區(qū)間上頂點是否取到．