Question

經(jīng)過點(diǎn)P（

1

2

，0）且與雙曲線4x²-y²=1僅交于一點(diǎn)的直線有（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：分情況進(jìn)行討論：（1）當(dāng)過點(diǎn)P的直線不存在斜率時(shí)，可求出此時(shí)直線方程，易檢驗(yàn)；（2）當(dāng)直線存在斜率時(shí)，設(shè)直線方程為：y=k（x-

1

2

），則方程組

y=k(x- 1 2 ) 4x2-y2=1

只有一解，消y后關(guān)于x的方程只有一解，再按方程類型討論即可求得；

解答：解：（1）當(dāng)過點(diǎn)P的直線不存在斜率時(shí)，直線方程為x=

1

2

，此時(shí)僅一個(gè)交點(diǎn)（

1

2

，0）；
（2）當(dāng)直線存在斜率時(shí)，設(shè)直線方程為：y=k（x-

1

2

），
由

y=k(x- 1 2 ) 4x2-y2=1

得(4-k2)x2+k2x-

1

4

k2-1=0①，
當(dāng)4-k²=0，即k=±2時(shí)，解方程①得x=

1

2

，方程組的解為

x= 1 2 y=0

，此時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)（

1

2

，0），直線方程為y=2（x-

1

2

），y=-2（x-

1

2

）；
當(dāng)4-k²≠0即k≠±2時(shí)，令△=0，此方程無解，即方程組無解，此時(shí)直線與雙曲線無交點(diǎn)；
綜上所述，經(jīng)過點(diǎn)p（

1

2

，0）且與雙曲線4x²-y²=1僅交于一點(diǎn)的直線有3條，
故選C．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查方程思想，直線與圓錐曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)往往轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程組的解的個(gè)數(shù)問題解決，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．