Question

設函數(shù)在上的最大值為a_n（n=1，2，…）．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）證明：對任意n∈N^*（n≥2），都有成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）解法一：通過函數(shù)的導數(shù)，判斷函數(shù)的單調性，求出最大值即可求a₁，a₂的值；
解法二：利用函數(shù)的導數(shù)，求出函數(shù)的最值，推出a₁，a₂的值．
（2）利用（1）解法求出n≥3時函數(shù)的最大值，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）利用分析法以及二項式定理直接證明：對任意n∈N^*（n≥2），都有成立．
解答：解：（1）解法1：∵-------（1分）
當n=1時，f₁'（x）=（1-x）（1-3x）
當時，f₁'（x）≤0，即函數(shù)f₁（x）在上單調遞減，
∴，--------------------------------------------------（3分）
當n=2時，f₂'（x）=2x（1-x）（1-2x）
當時，f₂'（x）≤0，即函數(shù)f₂（x）在上單調遞減，
∴---------------------------------------------------（5分）
【解法2：當n=1時，，則
當時，f₁'（x）≤0，即函數(shù)f₁（x）在上單調遞減，∴，
當n=2時，，則=2x（1-x）（1-2x）
當時，f₂'（x）≤0，即函數(shù)f₂（x）在上單調遞減，∴】
（2）令f_n'（x）=0得x=1或，
∵當n≥3時，且當時f_n'（x）＞0，
當時f_n'（x）＜0，-----------------（7分）
故f_n（x）在處取得最大值，
即當n≥3時，=，-------（9分）
當n=2時（*）仍然成立，
綜上得-------------------------------------（10分）
（3）當n≥2時，要證，只需證明，-------------------（11分）
∵
∴對任意n∈N^*（n≥2），都有成立．-----------------（14分）
點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的導數(shù)的應用，考查分析問題解決問題的能力，數(shù)列通項公式的求法，二項式定理的應用，考查計算能力轉化思想的應用．