Question

漳州三中高三年為了了解高三理科學生對數(shù)學學科的興趣情況，隨機抽取了高三年100名理科同學進行調查，如圖是根據(jù)調查結果繪制的晚自習第一節(jié)課學習數(shù)學時間的頻率分布直方圖，其中學習數(shù)學學科的時間分組區(qū)間是：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]．將學習時間不低于40分鐘的同學稱為“數(shù)學迷”．
（1）求圖中x的值；
（2）從“數(shù)學迷”中隨機抽取2位同學，記該2人中晚自習第一節(jié)課學習數(shù)學的時間在區(qū)間[50，60]內的人數(shù)記為X，求X的數(shù)學期望E（X）和方差D（X）．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,頻率分布直方圖

專題：應用題,概率與統(tǒng)計

分析：（1）利用頻率之和為1，建立方程，可得圖中x的值；
（2）確定X的取值，求出相應的概率，可得分布列，從而可求數(shù)學期望．

解答： 解：（1）由題設可知（0.005+x+0.012+0.02+0.025+0.028）×10=1，解之得x=0.01．
（2）由題設可知晚自習第一節(jié)課學習數(shù)學的時間在區(qū)間[50，60]內的人數(shù)為0.005×10×100=5人，
“數(shù)學迷”的人數(shù)為（0.01+0.005）×10×100=15，所以X的可能取值為0，1，2，
P（X=0）=

C 0 5 C 2 10

C 2 15

=

3

7

，P（X=1）=

C 1 5 C 1 10

C 2 15

=

10

21

，P（X=2）=

C 2 5 C 0 10

C 2 15

=

2

21

，
∴X的分布列為

X	0	1	2
P	3 7	10 21	2 21

∴X的數(shù)學期望EX=0×

3

7

+1×

10

21

+2×

2

21

=

2

3

．
∴X的方差為DX=（0-

2

3

）²×

3

7

+（1-

2

3

）²×

10

21

+（2-

2

3

）²×

2

21

=

26

63

．

點評：本小題主要考查排列、組合的運算，頻率分布，超幾何分布，數(shù)學期望等知識，考查或然與必然，以及數(shù)據(jù)處理能力、抽象思維能力、運算求解能力和應用意識．