Question

6．設數列{a_n}中，a₁=2，若a_n+1=2a_n+1，則通項a_n=-1+3•2^n-1，若a_n+1=2a_n+3ⁿ，則通項a_n=3ⁿ-2^n-1．

Answer 1

分析 通過對a_n+1=2a_n+1變形可知a_n+1+1=2（a_n+1），進而數列{a_n+1}是以3為首項、2為公比的等比數列，通過對a_n+1=2a_n+3ⁿ變形可知a_n+1-3ⁿ⁺¹=2（a_n-3ⁿ），進而數列{a_n-3ⁿ}是以-1為首項、2為公比的等比數列，計算即得結論．

解答 解：∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又∵a₁+1=2+1=3，
∴數列{a_n+1}是以3為首項、2為公比的等比數列，
∴a_n+1=3•2^n-1，
∴a_n=-1+3•2^n-1；
∵a_n+1=2a_n+3ⁿ，
∴a_n+1-3ⁿ⁺¹=2（a_n-3ⁿ），
又∵a₁-3¹=2-3=-1，
∴數列{a_n-3ⁿ}是以-1為首項、2為公比的等比數列，
∴a_n-3ⁿ=-2^n-1，
∴a_n=3ⁿ-2^n-1；
故答案為：-1+3•2^n-1，3ⁿ-2^n-1．

點評 本題考查數列的通項，注意解題方法的積累，屬于中檔題．