Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）令求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n
（3）令證明：2n＜c₁+c₂+…．

Answer 1

解：（1）n≥2時，=n+1
n=1時，a₁=S₁=2，也滿足上式
∴a_n=n+1（n∈N^*）．
（2）
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=①
②
①-②得
∴
∴
（3）∵==
∴2n＜c₁+c₂+…+c_n，
∵==
∴c₁+c₂+…+c_n=
∴2n＜c₁+c₂+…．
分析：（1）根據(jù)數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足（n∈N^*），利用n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，結合n=1時，a₁=S₁=2，可求數(shù)列的通項公式a_n；
（2）根據(jù)數(shù)列{b_n}通項的特點，利用錯位相減法，可求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n
（3）根據(jù)==，可證不等式的左邊；根據(jù)==，可證不等式的右邊．
點評：本題考查的重點是數(shù)列與不等式的綜合，解題的關鍵是根據(jù)數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足（n∈N^*），利用n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，利用錯位相減法求數(shù)列的和，注意不等式證明中的適當放縮．