Question

3．某品牌汽車的4S店對最近60位采用分期付款的購車者人數進行統(tǒng)計，統(tǒng)計結果如下表所示：

付款方式	分1期	分2期	分3期	分4期
頻數	20	a	14	b

已知分4期付款的頻率為$\frac{1}{6}$，并且4S店銷售一輛該品牌的汽車，顧客分1期付款其利潤為1萬元，分2期或3期付款其利潤為2萬元，分4期付款其利潤為3萬元，以頻率作為概率．
（1）求事件A“購買該品牌汽車的3位顧客中，至多有1位分4期付款”的概率；
（2）用X表示銷售一兩該品牌汽車的利潤，求X的分布列及數學期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）分4期付款的頻率為$\frac{1}{6}$，即$\frac{60}=\frac{1}{6}$，求得b和a的值，由P（A）=${C}_{3}^{0}$（1-$\frac{1}{6}$）³+${C}_{3}^{1}$（$\frac{1}{6}$）•（1-$\frac{1}{6}$）²=$\frac{25}{27}$；
（2）由X的取值為：1，2，3，分別求得P（x=1），P（x=2）和P（x=3），列出其分布列，即可求得數學期望E（X）．

解答 解：（1）由概率公式可知P=$\frac{60}=\frac{1}{6}$，
∴b=10，a=60-20-14-10=16，
∴P（A）=${C}_{3}^{0}$（1-$\frac{1}{6}$）³+${C}_{3}^{1}$（$\frac{1}{6}$）•（1-$\frac{1}{6}$）²=$\frac{25}{27}$，…（5分）
（2）X的取值為：1，2，3，
$P（{X=1}）=\frac{20}{60}=\frac{1}{3}$，
$P（{X=2}）=\frac{16}{60}=\frac{1}{2}$，
$P（{X=3}）=\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$．
X的分布列為：

X	1	2	4
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

∴$E（X）=1×\frac{1}{3}+2×\frac{1}{2}+3×\frac{1}{6}=\frac{11}{6}$．…（12分）

點評 本題考查離散型隨機變量及其分布列，以及離散型隨機變量的期望，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．