Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）＝|x－1|＋|2x－1|．
（Ⅰ）若對 x＞0，不等式f（x）≥tx恒成立，求實(shí)數(shù)t的最大值M；
（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的條件下，正實(shí)數(shù)a，b滿足a2＋b2＝2M．證明：a＋b≥2ab．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）解： 恒成立

∵ ，

當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)取等號(hào)，

∴t≤1，∴M＝1．

（Ⅱ）證明：∵a2＋b2≥2ab，∴ab≤1．

∴ ．（當(dāng)且僅當(dāng)“a＝b”時(shí)取等號(hào)）①

又∵ ，∴ ．

∴ ，（當(dāng)且僅當(dāng)“a＝b”時(shí)取等號(hào)）②

由①、②得 ．（當(dāng)且僅當(dāng)“a＝b”時(shí)取等號(hào)）

∴a＋b≥2ab

【解析】（Ⅰ）將函數(shù)不等式化為t小于等于含x代數(shù)式，即t小于等于該代數(shù)式的最小值，再利用基本不等式求得該代數(shù)式的最小值，從而求得t的最大值；（Ⅱ）根據(jù)基本不等式a2＋b2≥2ab求得ab≤1，再對基本不等式變形求得結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】掌握基本不等式是解答本題的根本，需要知道基本不等式：,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)）；變形公式：．