Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為1.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）記橢圓的上,下頂點(diǎn)分別為A,B，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓分別交于點(diǎn)，求證：直線必定過(guò)一定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由及通徑解方程組求出的值即可；（Ⅱ）直線方程為:

，直線方程為：，即．分別與橢圓聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理可解得：,求出直線的方程化簡(jiǎn)即可.

試題解析：（Ⅰ）由可得，

因過(guò)點(diǎn)F 垂直于x軸的直線被橢圓所截得弦長(zhǎng)為，，

所以，橢圓方程為

（Ⅱ）點(diǎn)的坐標(biāo)為

直線方程為:，直線方程為：，即．

分別與橢圓聯(lián)立方程組，可得：

和，

由韋達(dá)定理可解得：

．

如果考慮消去，得到：及

進(jìn)一步亦可得到

直線的斜率，則直線方程為：，化簡(jiǎn)可得直線的方程為，

恒過(guò)定點(diǎn)．

所以直線必過(guò)軸上的一定點(diǎn)．1