Question

一束光線l自A（1，0）發(fā)出，射到直線m：x+y+1=0上，被直線m反射到圓x²+y²-6x-2y+9=0上的點(diǎn)B．
（1）當(dāng)反射線通過圓心C時(shí)，求入射光線l的方程；
（2）求光線由A到達(dá)B的最短路徑的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：（1）由題意，利用物理的光學(xué)知識(shí)可知入射光線上的任意一點(diǎn)關(guān)于直線m對(duì)稱的點(diǎn)必在其反射線上，由于反射線過圓心，有光線的可逆性知，反射線上的圓心關(guān)于直線m對(duì)稱的點(diǎn)也必在入射光線上，然后由入射光線上已知兩點(diǎn)寫出所求的直線方程；
（2）設(shè)A關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)為A'，求出對(duì)稱點(diǎn)，由對(duì)稱性可知，所求光線傳播到圓的路徑長(zhǎng)，要使得其最小，則A'B過圓心C時(shí)滿足條件，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可求．

解答： 解：（1）⊙C：（x-3）²+（y-1）²=1，C（3，1），r=1．
設(shè)C關(guān)于直線m：x+y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)C′（m，n），
即有

n-1 m-3 =1 m+3 2 + n+1 2 +1=0

，解得，

m=-2 n=-4

．
則C'（-2，-4），
即有過A，C′的方程：4x-3y-4=0即為光線l的方程．
（2）光線由A到達(dá)B的路程，要想最短，則反射光線必經(jīng)過圓心，
設(shè)A關(guān)于直線m：x+y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)A′（a，b），
則

b a-1 =1 a+1 2 + b 2 +1=0

，解得，

a=-1 b=-2

，
可得A'（-1，-2），則連接A'C，交圓于B，A'B即為最短路程．
|A'B|=|A'C|-r=

(3+1)2+(1+2)2

-1=5-1=4．
故光線由A到達(dá)B的最短路徑的長(zhǎng)為4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱，考查直線方程的求法，以及直線與圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．