Question

13．設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F₁，F(xiàn)₂，橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$，連接橢圓的四個頂點得到的菱形面積為4$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）線段PQ是橢圓過點F₂的弦，且$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=λ$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$，求△PF₁Q面積的最大值，并求出對應(yīng)λ的值．

Answer 1

分析 （1）由題意e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，ab=2$\sqrt{3}$，結(jié)合橢圓的a，b，c的關(guān)系，由此能求出橢圓方程；
（2）分類討論，設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，運用韋達定理，結(jié)合二次函數(shù)的最值，確定當直線PQ與x軸垂直時△PF₁Q面積最大．

解答 解：（1）橢圓的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
又∵連接橢圓的四個頂點得到的菱形面積為4$\sqrt{3}$，
∴ab=2$\sqrt{3}$，又a²-b²=c²，
解得a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
∴所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）顯然直線PQ不與x軸重合，
當直線PQ與x軸垂直時，|PQ|=3，|F₁F₂|=2，${S}_{△P{F}_{1}Q}$=3；
當直線PQ不與x軸垂直時，設(shè)直線PQ：y=k（x-1），k≠0代入橢圓C的標準方程，
整理，得（3+4k²）y²+6ky-9k²=0，
△＞0，y₁+y₂=$\frac{-6k}{3+4{k}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-9{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
 ${S}_{△P{F}_{1}Q}$=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{\frac{36{k}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}-\frac{-36{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}}$=12$\sqrt{\frac{{k}^{2}+k}{（3+4{k}^{2}）^{2}}}$，
令t=3+4k²，∴t＞3，k²=$\frac{t-3}{4}$，
${S}_{△P{F}_{1}Q}$=3$\sqrt{-3（\frac{1}{t}+\frac{1}{3}）^{2}+\frac{4}{3}}$，
∵0＜$\frac{1}{t}$＜$\frac{1}{3}$，
∴${S}_{△P{F}_{1}Q}$∈（0，3），
由上，得${S}_{△P{F}_{1}Q}$∈（0，3]，
∴當直線PQ與x軸垂直時${S}_{△P{F}_{1}Q}$最大，且最大面積為3．
∴$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$，λ=1．

點評 本題考查橢圓的標準方程與幾何性質(zhì)，考查分類討論的數(shù)學思想，考查三角形面積的計算，屬于中檔題．