Question

已知函數(shù)f（x）=4x³-4ax，當(dāng)x∈[0，1]時，關(guān)于x的不等式|f（x）|＞1的解集為空集，則滿足條件的實數(shù)a的取值范圍是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   [1，+∞）

Answer 1

C
分析：由題意已知函數(shù)f（x）=4x³-4ax，當(dāng)x∈[0，1]時，關(guān)于x的不等式|f（x）|＞1的解集為空集，等價于當(dāng)x∈[0，1]時，關(guān)于x的不等式|f（x）|≤1的解集為全集．等價于當(dāng)x∈[0，1]時，使得|f（x）|≤1恒成立，利用函數(shù)解析式特點選擇求出函數(shù)在定義域下的最值求解即可．
解答：因為函數(shù)f（x）=4x³-4ax，當(dāng)x∈[0，1]時，關(guān)于x的不等式|f（x）|＞1的解集為空集?當(dāng)x∈[0，1]時，使得|f（x）|≤1恒成立，
?x∈[0，1]時，-1≤4x³-4ax≤1恒成立，
?x∈[0，1]時，恒成立，①
當(dāng)x=0時，由上式可以知道：無論a取何實數(shù)都使該式①恒成立；
當(dāng)x∈（0，1]時，由①可以等價于x∈（0，1]的一切數(shù)值均使得恒成立，即
而=（當(dāng)且僅當(dāng)x=時取等號）；所以a
對于，令g（x）=，則由此函數(shù)解析式可以得到；g（x）在定義域上位單調(diào)遞增函數(shù)，所以此時該函數(shù)的最大值為：g（1）=，所以a，
綜上要使得恒成立，則即a=．
故選C
點評：此題考查了函數(shù)在定義域內(nèi)恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化，還考查了利用均值不等式及函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)在定義域下的最值．