Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n²+n，則數(shù)列b_n=

1

anan+1

+2

an

2

的前5項的和為

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知條件推導出a_n=2n，從而b_n=

1

anan+1

+2

an

2

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)+2n，由此能求出數(shù)列b_n=

1

anan+1

+2

an

2

的前5項的和．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n²+n，
∴a₁=S₁=1+1=2，
a_n=S_n-S_n-1=（n²+n）-[（n-1）²+（n-1）]=2n，
當n=1時，上式成立，∴a_n=2n，
∴b_n=

1

anan+1

+2

an

2

=

1

2n•2(n+1)

+2ⁿ
=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)+2n，
∴數(shù)列b_n=

1

anan+1

+2

an

2

的前5項的和：
S₅=

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+

1

5

-

1

6

）+

2(1-25)

1-2

=

1

4

(1-

1

6

)+2(32-1)
=

5

24

+62
=

1493

24

．
故答案為：

1493

24

．

點評：本題考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意分組求和法的合理運用．