Question

1．已知數(shù)列{$\frac{9{n}^{2}-9n+2}{9{n}^{2}-1}$}．
（1）求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)；
（2）在區(qū)間（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）內(nèi)有、無(wú)數(shù)列中的項(xiàng)？若有，有幾項(xiàng)？若沒(méi)有，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）令n=10，即可求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)；
（2）解不等式$\frac{1}{3}$＜$\frac{9{n}^{2}-9n+2}{9{n}^{2}-1}$＜$\frac{2}{3}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）$\frac{9{n}^{2}-9n+2}{9{n}^{2}-1}$=$\frac{（3n-1）（3n-2）}{（3n-1）（3n+1）}$=$\frac{3n-2}{3n+1}$，
當(dāng)n=10時(shí)，$\frac{9{n}^{2}-9n+2}{9{n}^{2}-1}$=$\frac{3n-2}{3n+1}$=$\frac{30-2}{30+1}$=$\frac{28}{31}$；
（2）∵$\frac{3n-2}{3n+1}$=$\frac{3n+1-3}{3n+1}$=1-$\frac{3}{3n+1}$
∴由$\frac{1}{3}$＜$\frac{3n-2}{3n+1}$＜$\frac{2}{3}$，得$\frac{1}{3}$＜1-$\frac{3}{3n+1}$＜$\frac{2}{3}$，
即-$\frac{2}{3}$＜-$\frac{3}{3n+1}$＜-$\frac{1}{3}$，
即$\frac{1}{3}$＜$\frac{3}{3n+1}$＜$\frac{2}{3}$，
得$\frac{1}{9}$＜$\frac{1}{3n+1}$＜$\frac{2}{9}$，
即$\frac{9}{2}$＜3n+1＜9，
解得$\frac{7}{6}$＜n＜$\frac{8}{3}$，
∵n∈N，
∴n=2，
即在區(qū)間（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）內(nèi)有數(shù)列中的項(xiàng)，其中只有一項(xiàng)，為第2項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，以及不等式的求解，考查學(xué)生的計(jì)算能力．