Question

（本小題共14分）已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，若點(diǎn)B始終在以PQ為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由橢圓過點(diǎn) 得，由離心率是得,另外結(jié)合列方程組即可確定 的值從而得到橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去一個(gè)變量，得到關(guān)于的一元二次方程，結(jié)合一元二次方程根的判別式與韋達(dá)定理以及由點(diǎn)B在以PQ為直徑的圓內(nèi)，得為鈍角或平角，即確定的關(guān)系，從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）由題意知，解得，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：. 4分

（Ⅱ）設(shè)

聯(lián)立，消去，得： 6分

依題意：直線恒過點(diǎn)，此點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，

所以，----①，

由（*）式，-------②，

可得----③， 8分

由①②③，， 10分

由點(diǎn)B在以PQ為直徑的圓內(nèi)，得為鈍角或平角，即.

. 12分

即，整理得.

解得：. 14分

考點(diǎn)：橢圓方程，直線與橢圓位置關(guān)系