Question

已知矩形ABCD，AD＝2AB＝2，點E是AD的中點，將△DEC沿CE折起到△EC的位置，使二面角－EC－B是直二面角．

(Ⅰ)證明：BE⊥C；

(Ⅱ)求二面角－BC－E的余弦值，

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)∵AD＝2AB＝2，E是AD的中點， 　　∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，∠BEC＝90°，即 　　又∵平面EC⊥平面BEC，面EC∩面BEC＝EC 　　∴BE⊥面EC，∴BE⊥C　　4分 　　(Ⅱ)法一：設(shè)M是線段EC的中點，過M作MF⊥BC 　　垂足為F，連接M，F，則M⊥EC． 　　∵平面EC⊥平面BEC　∴M⊥平面EBC 　　∴MF是F在平面BEC上的射影，由三垂線定理得：F⊥BC 　　∴∠FM是二面－BC－E的平面角　　8分 　　在Rt△MF中，， 　　， 　　∴二面角－BC－E的余弦值為　　14分， 　　法二：如圖，以EB，EC為x軸、y軸，過E垂直于平面BEC的射線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系． 　　則　　8分 　　設(shè)平面BEC的法向量為；平面BC的法向量為， 　　　取x2＝l　　12分 　　得 　　∴二面角－BC－E的余弦值為　　14分