Question

在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F₁，F₂在x軸上，離心率為

2

2

．過F₁的直線L交C于A，B兩點，且△ABF的周長為16，那么C的方程（　　）

• A、

  x2

  12

  +

  y2

  8

  =1
• B、

  x2

  8

  +

  y2

  16

  =1
• C、

  x2

  8

  +

  y2

  12

  =1
• D、

  x2

  16

  +

  y2

  8

  =1

Answer 1

考點：橢圓的標準方程

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據題意，△ABF₂的周長為16，即BF₂+AF₂+BF₁+AF₁=16，結合橢圓的定義，有4a=16，即可得a的值；又由橢圓的離心率，可得c的值，進而可得b的值；由橢圓的焦點在x軸上，可得橢圓的方程．

解答： 解：根據題意，△ABF₂的周長為16，即BF₂+AF₂+BF₁+AF₁=16；
根據橢圓的性質，有4a=16，即a=4；
橢圓的離心率為

2

2

，即

c

a

=

2

2

，則a=

2

c，
將a=

2

c，代入可得，c=2

2

，則b²=a²-c²=8；
則橢圓的方程為

x2

16

+

y2

8

=1；
故選：D．

點評：本題考查橢圓的性質，此類題型一般與焦點三角形聯系，難度一般不大；注意結合橢圓的基本幾何性質解題即可．