Question

【題目】已知函數(shù)（），曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.

（Ⅰ）試比較與的大小，并說(shuō)明理由；

（Ⅱ）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)， ，證明： .

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（I）切線與直線垂直，即在該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為，利用導(dǎo)數(shù)為列方程可求得的值.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得函數(shù)在上為減函數(shù)，故，化簡(jiǎn)得.（II）不妨設(shè)因?yàn)?/span>，

所以化簡(jiǎn)得， ，兩式相加和相減，利用分析法分析要證明的不等式，將不等式轉(zhuǎn)化為證，利用換元法和導(dǎo)數(shù)作為工具，可證明上述不等式成立.

試題解析：

解：（Ⅰ）依題意得， ，

所以，又由切線方程可得，即，解得.

此時(shí)， ，

令，即，解得；

令，即，解得，

所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為.

所以，即.

， .

（Ⅱ）證明：不妨設(shè)因?yàn)?/span>，

所以化簡(jiǎn)得， .

可得， ，

要證明， 即證明，也就是.

因?yàn)?/span>，所以即證，

即，令，則，即證.

令（）.由 ，

故函數(shù)在是增函數(shù)，所以，即得證.

所以.