Question

設橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點為F，短軸上端點為B，連接BF并延長交橢圓于點A，連接AO并延長交橢圓于點D，過B、F、O三點的圓的圓心為C．
（1）若C的坐標為（-1，1），求橢圓方程和圓C的方程；
（2）若AD為圓C的切線，求橢圓的離心率．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意可得三角形BFO外接圓圓心為斜邊BF中點C，由此求得b，c的值，結合隱含條件求出a，則橢圓方程和圓C的方程可求；
（2）由AD為圓C的切線，得到AD⊥CO，聯(lián)立直線和橢圓方程求得A的坐標，由

OA

•

OC

=0得到a，b，c的關系式，結合隱含條件可求橢圓的離心率．

解答： 解：（1）∵三角形BFO為直角三角形，
∴其外接圓圓心為斜邊BF中點C，
由C點坐標為（-1，1）得，b=2，c=2，
∴a²=b²+c²=8，
則圓半徑r=CO=

2

，
∴橢圓方程為

x2

8

+

y2

4

=1，
圓方程為（x+1）²+（y-1）²=2；
（2）由AD與圓C相切，得 AD⊥CO，
BF方程為y=

b

c

x+b，
由

y= b c x+b x2 a2 + y2 b2 =1

，
得A(-

2a2c2

c(a2+c2)

，-

b3

a2+c2

)，
由

OA

•

OC

=0，得b⁴=2a²c²，
（a²-c²）²=2a²c²a⁴-4a²c²+c⁴=0，
解得：e=

2- 3

=

6

2

-

2

2

．

點評：本題考查了橢圓與圓的方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關系，解答此題的關鍵是由平面幾何知識得到對應的關系，考查了學生的計算能力，是中檔題．