Question

已知M是橢圓

x2

9

+

y2

5

=1上一點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個焦點，I是△MF₁F₂的內(nèi)心，延長MI交F₁F₂于N，則 

|MI|

|NI|

等于

3

2

．

Answer 1

分析：由于三角形的內(nèi)心是三個內(nèi)角的平分線的交點，根據(jù)三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理把所求的比值轉(zhuǎn)化為三角形邊長之間的比值關(guān)系來求解．

解答：解：如圖，連接IF₁，IF₂．在△MF₁I中，F(xiàn)₁I是∠MF₁N的角平分線，
根據(jù)三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理，

|MI|

|NI|

=

|MF1|

|F1N|

，同理可得

|MI|

|NI|

=

|MF 2|

|F 2N|

，
∴

|MI|

|NI|

=

|MF1|

|F1N|

=

|MF 2|

|F 2N|

；
根據(jù)等比定理

|MI|

|NI|

=

|MF 1|+|MF 2|

|F1N|+|F2N|

=

2a

2c

=

2×3

2× 9-5

=

3

2

．
故答案為：

3

2

．

點評：本題主要考查圓錐曲線的定義的應(yīng)用，試題在平面幾何中的三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理、初中代數(shù)中的等比定理和圓錐曲線的定義之間進行了充分的交匯，在解決涉及到圓錐曲線上的點與焦點之間的關(guān)系的問題中，圓錐曲線的定義往往是解題的突破口．