Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），曲線的極坐標(biāo)方程為：．且兩曲線與交于兩點(diǎn)．

（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)，若成等比數(shù)列，求的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）由曲線的參數(shù)方程，消參能求出曲線的直角坐標(biāo)方程；曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為，由此能求出曲線的直角坐標(biāo)方程．

（2）設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將參數(shù)方程代入曲線，得，由此能求出實(shí)數(shù)的值．

（1）由曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），

消參得曲線的直角坐標(biāo)方程為．

∵曲線的極坐標(biāo)方程為：．

∴，

∴曲線的直角坐標(biāo)方程為．

（2）由直線過(guò)點(diǎn)，且傾斜角為，

設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

將參數(shù)方程代入曲線，得：

，

，解得，

且，，

由成等比數(shù)列，得，

由直線參數(shù)方程的幾何意義知

，即

∵，，

化簡(jiǎn)為，

解得或（舍），

∴實(shí)數(shù)的值為