Question

14．f（x）=[ax²+（a-1）²x-a²+3a-1]e^x（a∈R）．若f（x）在（2，3）上單調遞增，求實數a取值范圍．

Answer 1

分析 先求f′（x）=[ax²+（a²+1）x+a]e^x，所以若f（x）在（2，3）上單調遞增，則f′（x）≥0在（2，3）上恒成立，所以可設g（x）=ax²+（a²+1）x+a，則g（x）≥0在（2，3）上恒成立，所以討論a的取值，結合二次函數的圖象即可求出每種情況下的a的取值，然后求并集即可．

解答 解：f′（x）=[ax²+（a²+1）x+a]e^x；
∵f（x）在（2，3）上單調遞增，e^x＞0；
∴ax²+（a²+1）x+a≥0在（2，3）上恒成立；
（1）若a=0，x≥0在（2，3）上恒成立；
（2）若a≠0，設g（x）=ax²+（a²+1）x+a，該函數為二次函數，則：△=（a²-1）²；
∴①a=1時，△=0，滿足g（x）≥0恒成立；
②a=-1時，△=0，不滿足g（x）≥0在（2，3）上恒成立，即a≠-1；
③a＞1時，△＞0，要使g（x）≥0在（2，3）上恒成立，則：
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{a}^{2}+1}{2a}＜2}\\{g（2）=2{a}^{2}+5a+2≥0}\end{array}\right.$；
而上面不等式組a＞1時恒成立；
④a＜-1時，△＞0，要使g（x）≥0在（2，3）上恒成立，則：
$\left\{\begin{array}{l}{g（2）=2{a}^{2}+5a+2≥0}\\{g（3）=3{a}^{2}+10a+3≥0}\end{array}\right.$；
解得a≤-3；
∴此時a≤-3．
∴綜上得實數a的取值范圍為{a|a≥1，或a≤-3，或a=0}．

點評 考查函數單調性和函數導數符號的關系，以及二次函數f（x）≥0時需滿足的條件，并且對二次函數圖象要熟練掌握．