Question

15．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）及圓O：x²+y²=a²，如圖過(guò)點(diǎn)B（0，a）與橢圓相切的直線(xiàn)l交圓O于點(diǎn)A，若∠AOB=60°，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由等邊三角形可得|AB|=a，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=kx+a（k＞0），求得圓心到直線(xiàn)的距離，由圓的弦長(zhǎng)公式可得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用相切的條件：判別式為0，化簡(jiǎn)整理，由離心率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由∠AOB=60°，可得△ABO為等邊三角形，即|AB|=a，
設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=kx+a（k＞0），
圓心到直線(xiàn)的距離為d=$\frac{|a|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
弦長(zhǎng)|AB|=a=2$\sqrt{{a}^{2}-\frac{{a}^{2}}{1+{k}^{2}}}$，
解得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
可得直線(xiàn)y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+a，代入橢圓方程b²x²+a²y²=a²b²，
可得（b²+$\frac{1}{3}$a²）x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a³x+a⁴-a²b²=0，
由直線(xiàn)和橢圓相切，可得：
△=$\frac{4}{3}$a⁶-4（b²+$\frac{1}{3}$a²）（a⁴-a²b²）=0，
化簡(jiǎn)可得b²=$\frac{2}{3}$a²，
由b²=a²-c²，可得c²=$\frac{1}{3}$a²，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的求法，注意運(yùn)用直線(xiàn)和圓相交的弦長(zhǎng)公式，聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓方程，由相切的條件：判別式為0，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．