已知函數(shù)
的極大值點和極小值點都在區(qū)間
內(nèi)，則實數(shù)
的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年山東省菏澤市高三5月高考沖刺題理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題
已知函數(shù)
的圖象過坐標原點O,且在點
處的切線的斜率是
.
（Ⅰ）求實數(shù)
的值；
（Ⅱ）求
在區(qū)間
上的最大值；
（Ⅲ）對任意給定的正實數(shù)
，曲線
上是否存在兩點P、Q，使得
是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在
軸上？說明理由.
【解析】第一問當
時，
，則
。
依題意得：
，即
解得
第二問當
時，
，令
得
，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定，得到極值和最值
第三問假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求，則點P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè)
，則
，顯然
∵是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，∴
即
（*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.
（Ⅰ）當時，，則。
依題意得：，即 解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
①當時，，令得
當
變化時，
的變化情況如下表：
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0 |
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— |
0 |
+ |
0 |
— |
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極小值 |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
|
又
，
，
。∴在
上的最大值為2.
②當
時, 
.當
時, 
,最大值為0；
當
時, 在
上單調(diào)遞增�！�在最大值為
。
綜上，當
時，即
時，在區(qū)間上的最大值為2；
當
時，即
時，在區(qū)間上的最大值為。
（Ⅲ）假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求，則點P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè)，則，顯然
∵是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，∴
即 （*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.
若
，則
代入（*）式得：
即
，而此方程無解，因此
。此時
，
代入（*）式得： 
即
（**）
令
，則
∴
在
上單調(diào)遞增， ∵ ∴
,∴
的取值范圍是
。
∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。
因此，對任意給定的正實數(shù)，曲線上存在兩點P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年吉林省吉林市高三上學(xué)期期末考試理科數(shù)學(xué) 題型：選擇題
已知函數(shù)
的極大值點和極小值點都在區(qū)間
內(nèi)，
則實數(shù)a的取值范圍是
A．（0，2] B．（0，2） C.
[
，2） D.
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的極大值點和極小值點都在區(qū)間
內(nèi)，所以，
的兩根均在區(qū)間
，解得，實數(shù)
的取值范圍是
，選D。
單調(diào)遞減