Question

18．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x≥0}\\{{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$，則f（f（x））≤3的解集為（　�。�

• A． （-∞，-3]
• B． [-3，+∞）
• C． （-∞，$\sqrt{3}$]
• D． [$\sqrt{3}$，+∞）

Answer 1

分析 由已知條件根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行求解即可求出f（f（x））≤3的解集．

解答 解：設(shè)t=f（x），
則不等式f（f（x））≤3等價(jià)為f（t）≤3，
作出f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x≥0}\\{{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$的圖象，如右圖，
由圖象知t≥-3時(shí)，f（t）≤3，
即f（x）≥-3時(shí)，f（f（x））≤3．
若x≥0，由f（x）=-x²≥-3得x²≤3，解得0≤x≤$\sqrt{3}$，
若x＜0，由f（x）=2x+x²≥-3，得x²+2x+3≥0，
解得x＜0，綜上x≤$\sqrt{3}$，
即不等式的解集為（-∞，$\sqrt{3}$]，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，是中檔題，利用換元法是解決本題的關(guān)鍵．