Question

如圖所示，在三棱錐中，平面，，分別是的中點(diǎn)，，與交于，與交于點(diǎn)，連接。

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析 （Ⅱ）

【解析】解法一 （Ⅰ）在中，分別是的中點(diǎn)，則是的重心，

同理，所以，因此

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081613212406893461/SYS201308161322070437430167_DA.files/image010.png">是的中位線，所以.

（Ⅱ）解法1 因?yàn)?，所以,又，

所以平面，平面，

為二面角的平面角，

不妨設(shè)由三角形知識(shí)可得

由余弦定理得

解法2分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)則

設(shè)平面的法向量為，則

，所以，令得

同理求得平面的一個(gè)法向量為，

因此

由圖形可知二面角的余弦值為

解法二（Ⅰ）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081613212406893461/SYS201308161322070437430167_DA.files/image038.png">分別是的中點(diǎn)，

所以∥,∥，所以∥，

又平面，平面，

所以∥平面，

又平面,平面平面，

所以∥，

又∥，

所以∥.

（Ⅱ）解法一：在△中, ,,

所以，即,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081613212406893461/SYS201308161322070437430167_DA.files/image052.png">平面,所以，

又，所以平面，由（Ⅰ）知∥,

所以平面，又平面，所以，同理可得，

所以為二面角的平面角，設(shè),連接，

在△中，由勾股定理得，，

在△中，由勾股定理得，，

又為△的重心，所以

同理 ,

在△中，由余弦定理得，

即二面角的余弦值為.

解法二：在△中，,,

所以，又平面,所以兩兩垂直，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則,,,，,,所以,,,,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

由，,

得

取，得.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為

由，,

得

取，得.所以

因?yàn)槎�面�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081613212406893461/SYS201308161322070437430167_DA.files/image021.png">為鈍角，所以二面角的余弦值為.

【考點(diǎn)定位】本題考查了空間直線的位置關(guān)系的判定和二面角的求法，考查了空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算能力。第一問主要涉及平面幾何的圖形性質(zhì)，中點(diǎn)形成的平行線是�？键c(diǎn)之一，論證較為簡單。第二問有兩種方法可以解決，因圖形結(jié)構(gòu)的簡潔性，推理論證較為簡單，而利用空間向量運(yùn)算求解二面角就相對(duì)復(fù)雜了.