Question

(2007福建，18)如下圖，正三棱柱的所有棱長都為2，D為中點．

(1)求證：⊥平面；

(2)求二面角的大小；

(3)求點C到平面的距離．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：解法一：(1)取BC中點O，連接AO． ∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC． ∵正三棱柱中，平面ABC⊥平面， ∴AO⊥平面． 連結(jié)，在正方形中，O、D分別為BC、的中點， ∴，∴． 在正方形中，， ． (2)設(shè)與交于點G，在平面中，作于F，連結(jié)AF，由(1)得 ， ∴， ∴∠AFG為二面角的平面角． 在中，由等面積法可求得 ，又∵， ∴， 所以二面角的大小為． (3)中，，，∴． ． 在正三棱柱中，到平面的距離為． 設(shè)點C到平面的距離為d． 由得， ∴． ∴點C到平面的距離為． 解法二：(1)取BC中點O，連結(jié)AO． ∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC． ∵在正三棱柱中，平面ABC⊥平面， ∴AO⊥平面． 取中點，以O為原點，，，的方向為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1，0，0)，D(－1，1，0)，，A(0，0，)，(1，2，0)， ∴，，． ∵，， ∴， ∴⊥平面． (2)設(shè)平面的法向量為n=(x，y，z)． ，=(0，2，0)． ∵，， ∴∴ ∴ 令z=1得為平面的一個法向量． 由(1)知平面， ∴為平面的法向量． ． ∴二面角的大小為． (3)由(2)，法向量． ∵=(－2，0，0)，， ∴點C到平面的距離．