Question

13．已知2^x≤16且${log_2}x≥\frac{1}{2}$，求函數(shù)$f（x）={log_2}\frac{x}{2}•{log_{\sqrt{2}}}\frac{{\sqrt{x}}}{2}$的值域．

Answer 1

分析 先求出$\frac{1}{2}$≤log₂x≤2，再根據(jù)二次函數(shù)即可得到結(jié)論．

解答 解：由2^x≤16得x≤4，log₂x≤2，
即$\frac{1}{2}$≤log₂x≤2，
$f（x）={log_2}\frac{x}{2}•{log_{\sqrt{2}}}\frac{{\sqrt{x}}}{2}$=（log₂x-1）（log₂x-2）=（log₂x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
當${log_2}x=\frac{3}{2}$，$f{（x）_{min}}=-\frac{1}{4}$，當${log_2}x=\frac{1}{2}$，$f{（x）_{max}}=\frac{3}{4}$，
故f（x）的取值范圍為$[-\frac{1}{4}，\frac{3}{4}]$．

點評 本題主要考查函數(shù)值域的計算，根據(jù)二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．