Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x，f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，數(shù)列{a_n}滿足條件：a₁≥1，a_n+1≥f′（a_n+1）．
（1）猜想a_n與2ⁿ-1的大小關(guān)系，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論；
（2）證明：$\frac{1}{1+{a}_{1}}$+$\frac{1}{1+{a}_{2}}$+$\frac{1}{1+{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{1+{a}_{n}}$＜1．

Answer 1

分析 （1）先猜想a_n與2ⁿ-1的大小關(guān)系，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論；
（2）由（1）得1+a_n≥2ⁿ，$\frac{1}{1+{a}_{n}}$≤$\frac{1}{{2}^{n}}$，然后利用放縮法進(jìn)行證明不等式．

解答 解：（1）∵f′（x）=x²-1，a_n+1≥f′（a_n+1）．
∴a_n+1≥（a_n+1）²-1．
∵g（x）=（x+1）²-1=x²+2x在[-1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴由a₁≥1，a_n+1≥（a_n+1）²-1．
得a₂≥2²-1．
進(jìn)而得到a₃≥2³-1，猜想a_n≥2ⁿ-1．
用歸納法進(jìn)行證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁≥2-1=1成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即a_k≥2^k-1．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，由（x）=（x+1）²-1=x²+2x在[-1，+∞）上單調(diào)遞增，
得a_n+1≥（a_n+1）²-1≥2^k+1+1．即當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．
綜上由①②得對(duì)任意的n∈N^•，a_n≥2ⁿ-1恒成立．
（2）由（1）得1+a_n≥2ⁿ，
∴$\frac{1}{1+{a}_{n}}$≤$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{1+{a}_{1}}$+$\frac{1}{1+{a}_{2}}$+$\frac{1}{1+{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{1+{a}_{n}}$≤$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}•[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$=1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用以及不等式的證明，利用放縮法是解決本題的關(guān)鍵．