Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，，，，.

（1）求證：；

（2）若，求平面和平面所成的角（銳角）的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)線面垂直的判定定理，證明平面，進(jìn)而可得線線垂直；

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)題中條件，分別求出兩平面的法向量，求出兩向量夾角的余弦值，即可得出結(jié)果.

（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，

因?yàn)?/span>，所以，

又因?yàn)?/span>，所以四邊形是平行四邊形.

因?yàn)?/span>所以四邊形是矩形.

所以.

又

所以.

所以是直角三角形，即.

又底面，底面，

所以.

又平面，平面，且.

所以平面.

又平面，

所以.

（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，

由（1）知，，.

，

所以.

所以

所以.

設(shè)平面的法向量為，則

所以，即，

取，則，，

所以平面的一個(gè)法向量為.

又平面的一個(gè)法向量為

所以

所以平面和平面所成的角（銳角）的余弦值為.