Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2-2alnx+(a-2)x，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）當(dāng)a≤0時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）顯然函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），利用函數(shù)的單調(diào)性來求f（x）的最小值．
（Ⅱ）f′（x）=x-

2a

x

+（a-2）=

x2+(a-2)x-2a

x

=

(x-2)(x+a)

x

，分母為正，分子結(jié)合二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，找出函數(shù)值為正值、負(fù)值的區(qū)間，得出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）顯然函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），…（1分）
當(dāng)a=1時(shí)，f′(x)=

x2-x-2

x

=

(x-2)(x+1)

x

…（2分）
∴當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f'（x）＜0，x∈（2，+∞），f'（x）＞0．
∴f（x）在x=2時(shí)取得最小值，其最小值為 f（2）=-2ln2…（7分）
（Ⅱ）∵f′（x）=x-

2a

x

+（a-2）=

x2+(a-2)x-2a

x

=

(x-2)(x+a)

x

∴（1）當(dāng)-2＜a≤0時(shí)，
若x∈（0，-a），f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
   x∈（-a，2），f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
  x∈（2，+∞），f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
（2）當(dāng)a=2時(shí)，x∈（0，+∞），f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
（3））當(dāng)a＜-2時(shí)，x∈（0，2），f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
  x∈（2，-a），f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
  x∈（-a，+∞），f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性屬于中檔、常規(guī)題．涉及到了分類討論的思想方法．