Question

16．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n=（-1）ⁿa_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$，設(shè){S_n}的前n項(xiàng)和為T_n，則T₂₀₁₆=$\frac{1}{3}$•$\frac{{2}^{2016}-1}{{2}^{2016}}$．

Answer 1

分析 通過S_n=（-1）ⁿa_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$可知a₁=$\frac{1}{4}$、當(dāng)n≥2時(shí)a_n=S_n-S_n-1=（-1）ⁿa_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$-（-1）^n-1a_n-1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論可知a_n=$\frac{1}{{2}^{n+1}}$（n為奇數(shù)）、a_n=-$\frac{1}{{2}^{n}}$（n為偶數(shù)），進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：∵S_n=（-1）ⁿa_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=-a₁+$\frac{1}{2}$，即a₁=$\frac{1}{4}$；
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（-1）ⁿa_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$-（-1）^n-1a_n-1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a_n=a_n+a_n-1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，即a_n-1=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n+1}}$（n為奇數(shù)）；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n=-a_n-a_n-1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，即2a_n=-a_n-1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴2•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$=-a_n-1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，即a_n-1=-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴a_n=-$\frac{1}{{2}^{n}}$（n為偶數(shù)）；
綜上所述，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{2}^{n+1}}，}&{n為奇數(shù)}\\{-\frac{1}{{2}^{n}}，}&{n為偶數(shù)}\end{array}\right.$；
∴T₂₀₁₆=（-a₁+a₂-a₃+a₄-…-a₂₀₁₅+a₂₀₁₆）+（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{2016}}$）
=（-a₁+a₂）+（-a₃+a₄）+…+（-a₂₀₁₅+a₂₀₁₆）+（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{2016}}$）
=（-$\frac{1}{{2}^{2}}$-$\frac{1}{{2}^{2}}$）+（-$\frac{1}{{2}^{4}}$-$\frac{1}{{2}^{4}}$）+…+（-$\frac{1}{{2}^{2016}}$-$\frac{1}{{2}^{2016}}$）+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{2016}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=-2（$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{2016}}$）+1-$\frac{1}{{2}^{2016}}$
=-2•$\frac{\frac{1}{{2}^{2}}×（1-\frac{1}{{2}^{2×1008}}）}{1-\frac{1}{{2}^{2}}}$+1-$\frac{1}{{2}^{2016}}$
=$\frac{1}{3}$•$\frac{{2}^{2016}-1}{{2}^{2016}}$，
故答案為：$\frac{1}{3}$•$\frac{{2}^{2016}-1}{{2}^{2016}}$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的求和，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，解答此題的關(guān)鍵在于當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)能求出奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)求出偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．