Question

4．[普通中學做]設H、P是△ABC所在平面上異于A、B、C的兩點，用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{h}$分別表示向量$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{PH}$．已知$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{h}$=$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{h}$=$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$•$\overrightarrow{h}$，|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|=5，|$\overrightarrow{BC}$|=6，則|$\overrightarrow{AH}$|=（　　）

• A． $\frac{7}{4}$
• B． $\frac{7}{5}$
• C． $\frac{15}{4}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)向量數(shù)量積的公式和條件進行化簡得到H是△ABC的垂心，結(jié)合三角形的邊角關系進行求解即可．

解答 解：由題意知$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PH}$=$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PH}$，
即$\overrightarrow{PB}$•（$\overrightarrow{PA}$-$\overrightarrow{PC}$）+$\overrightarrow{PH}$•（$\overrightarrow{PC}$-$\overrightarrow{PA}$）=0，即$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{HB}$=0．
同理得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{HC}$=0，故H是△ABC的垂心，如圖所示，
在Rt△CAD中，tan∠CAD=$\frac{3}{4}$，
∵∠CAD=∠CBE，
∴$\frac{DH}{3}$=$\frac{3}{4}$，即DH=$\frac{9}{4}$，
∴AH=4-$\frac{9}{4}$=$\frac{7}{4}$，
故選：A．

點評 本題主要考查向量數(shù)量積的應用，根據(jù)條件判斷H是△ABC的垂心是解決本題的關鍵．綜合性較強，考查學生的轉(zhuǎn)化和運算能力．