Question

【題目】已知橢圓的焦距為，且過點(diǎn).

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)設(shè)分別是橢圓的下頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)， 是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于為線段的中點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)為線段的中點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.

（Ⅱ）證明見解析.

【解析】【試題分析】(I)依題意可知,將點(diǎn)代入橢圓方程,結(jié)合,解出的值,即求得橢圓的方程.(II) 設(shè)， ，則， ．將的坐標(biāo)代入橢圓方程,求得的關(guān)系式.利用點(diǎn)斜式寫出直線的方程,由此求得點(diǎn)的坐標(biāo),利用中點(diǎn)坐標(biāo)求得點(diǎn)的坐標(biāo).代入,由此證得.

【試題解析】

（Ⅰ）由題設(shè)知焦距為，所以.

又因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以代入橢圓方程得

因?yàn)?/span>，解得，

故所求橢圓的方程是．

（Ⅱ）設(shè)， ，則， ．

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以．即．

又，所以直線的方程為．

令，得，所以．

又， 為線段的中點(diǎn)，所以．

所以， ．

因

，

所以,即．