Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

x

2(x+1)

，給定數(shù)列{a_n}，其中a₁=a，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）若{a_n}為常數(shù)數(shù)列，求a的值；
（2）當(dāng)a≠0時，探究{

1

an

+2}能否是等比數(shù)列？若是，求出{a_n}的通項(xiàng)公式；若不是，說明理由；
（3）設(shè)b_n=3na_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，當(dāng)a=1時，求證：S_n＞4-（n+2）（

1

2

）^n-1．

Answer 1

分析：（1）由于a₁=a，{a_n}為常數(shù)數(shù)列，得知a=f（a），將其代入f（x）=

x

2(x+1)

，從而求出a的值；
（2）根據(jù)a_n+1=f（a_n）取倒數(shù)化簡得

1

an+1

+2=2(

1

an

+2)，再考慮首項(xiàng)是否為0分類討論，它是否是等比數(shù)列．
（3）根據(jù)（2）得a=1時，它是等比數(shù)列，從而求出a_n的通項(xiàng)公式，并放縮，得an＞

1

3

•(

1

2

)n-1，
∴sn＞1+2•

1

2

+…+n•(

1

2

)n-1，令右式=T_n，再用錯位相減法化簡右式得T_n=4-(n+2)(

1

2

)n-1，從而得證．

解答：解：（1）若{a_n}為常數(shù)數(shù)列，則a_n=a，由a_n+1=f（a_n），得a=f（a），（1分）
f（x）=

x

2(x+1)

，∴a=

a

2(a+1)

，即a=2a（a+1）解得：a=0或a=-

1

2

．
（2）∵f（x）=

x

2(x+1)

，∴a_n+1=f（a_n）=

an

2(an+1)

，
當(dāng)a₁=a≠0時，a_n≠0，
∴

1

an+1

=

2an+2

an

=2+

2

an

，
∴

1

an+1

+2=2(

1

an

+2)，
∴

1

a1

+2=

1

a

+2，…（6分）
∴①當(dāng)a=-

1

2

時，由（1）知an=-

1

2

，

1

an+1

+2=0，∴{

1

an

+2}不是等比數(shù)列．…（7分）
②當(dāng)a≠-

1

2

時，

1

a

+2≠0，∴{

1

an

+2}是以2為公比，以

1

a

+2為首項(xiàng)的等比數(shù)列，…（8分）
∴

1

an

+2=(

1

a

+2)2n-1，∴an=

1

( 1 a +2)2n-1-2

     …（9分）
（3）當(dāng)a=1時，an=

1

3•2n-1-2

＞

1

3•2n-1

=

1

3

•(

1

2

)n-1，…（10分）
∴bn=3nan＞n•(

1

2

)n-1
∴sn=b1+b2+…+bn＞1+2•

1

2

+3•(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n-1…（11分）
設(shè)Tn=1+2•

1

2

+3•(

1

2

)2+…+(n-1)(

1

2

)n-2+n•  (

1

2

)n-1①
則

1

2

Tn=1•

1

2

+2•(

1

2

)2+3• (

1

2

)3+…+(n-1)(

1

2

)n-1+n•(

1

2

)n，②
由①-②得：

1

2

Tn=1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1-n•(

1

2

)n
=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n•(

1

2

)n=2-(n+2)(

1

2

)n
∴Tn=4-(n+2)(

1

2

)n-1，（13分），
所以Sn＞4-(n+2)(

1

2

)n-1…（14分）

點(diǎn)評：此題考查等比數(shù)列的判斷，關(guān)鍵在于其首項(xiàng)是否為0，比值是否為常數(shù)．同時還考查了放縮法及數(shù)列求和的錯位相減法．