Question

下列命題：
（1）直線x=

π

4

是函數y=sinx+cosx圖象的一條對稱軸；
（2）函數f（x）=x²+（3a+1）x+2a在（-∞，4）上為減函數，則實數a的取值范圍是a≤3；
（3）已知函數y=4^x-2^x+2+1（-1≤x≤2），則其值域為[-3，1]；
（4）曲線y=lnx上的點到直線x-3y+3ln3=0的最短距離是

10

，其中正確的命題有

 

（請把所有正確的命題序號都填在橫線上）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：（1）由于函數f（x）=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，而f(

π

4

)=

2

sin

π

2

，即可判斷出直線x=

π

4

是此圖象的一條對稱軸；
（2）函數f（x）=x²+（3a+1）x+2a=(x+

3a+1

2

)2+

2a-9a2-1

4

在（-∞，4）上為減函數，則4≤-

3a+1

2

，解出即可；
（3）由函數f（x）=4^x-2^x+2+1=（2^x）²-4×2^x+1=（2^x-2）²-3，（-1≤x≤2），由于f（x）在[-1，1]上單調遞減；f（x）在[1，2]上單調遞增，即可得出值域；
（4）設與直線x-3y+3ln3=0平行且與曲線y=lnx相切的直線為x-3y+m=0，切點為P（x₀，lnx₀），由y=lnx，y′=

1

x

，可得

1

x0

=

1

3

，解得x₀=3，切點P（3，ln3）．求出切點p到直線x-3y+3ln3=0的距離即可．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，而f(

π

4

)=

2

sin

π

2

=

2

，因此直線x=

π

4

是此圖象的一條對稱軸，正確；
（2）函數f（x）=x²+（3a+1）x+2a=(x+

3a+1

2

)2+

2a-9a2-1

4

在（-∞，4）上為減函數，則4≤-

3a+1

2

，解得a≤-3，因此實數a的取值范圍是a≤-3，故不正確；
（3）由函數f（x）=4^x-2^x+2+1=（2^x）²-4×2^x+1=（2^x-2）²-3，（-1≤x≤2），∴f（x）在[-1，1]上單調遞減，f（-1）=

1

4

，f（1）=-3；f（x）在[1，2]上單調遞增，f（2）=1，則其值域為[-3，1]，正確；
（4）設與直線x-3y+3ln3=0平行且與曲線y=lnx相切的直線為x-3y+m=0，切點為P（x₀，lnx₀），由y=lnx，y′=

1

x

，∴

1

x0

=

1

3

，解得x₀=3，∴切點P（3，ln3）．
∴切點p到直線x-3y+3ln3=0的距離d=

|3-3ln3+3ln3|

10

=

3 10

10

，∴曲線y=lnx上的點到直線x-3y+3ln3=0的最短距離是

3 10

10

，因此不正確．
其中正確的命題有 （1）（3）．
故答案為：（1）（3）．

點評：本題考查了三角函數的圖象與性質、二次函數的單調性、指數函數的性質、利用導數研究函數的切線、平行線之間的距離、點到直線的距離公式、簡易邏輯的判定，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．