Question

10．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a，b＞0）$，過x軸上點P的直線與雙曲線的右支交于M，N兩點（M在第一象限），直線MO交雙曲線左支于點Q（O為坐標原點），連接QN．若∠MPO=60°，∠MNQ=30°，則該雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得M，Q關于原點對稱，即可得到k_MN•k_QN=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，分別求出相對應的斜率，再根據離心率公式即可求出

解答 解：由題意可知：M，Q關于原點對稱，
∴k_MN•k_QN=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
∵k_MN=-$\sqrt{3}$，k_QN=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=1，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{2}$
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了雙曲線的簡單性質以及離心率的計算，屬于中檔題．