Question

（本題滿分12分）

已知函數(shù)

   （1）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；

   （2）當a>0時，試討論這兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)．

Answer 1

（1）a>1

（2）有且僅有兩個交點

解析:

（1）

若使存在單調(diào)遞減區(qū)間，則上有解．……1分

而當

問題轉(zhuǎn)化為上有解，故a大于函數(shù)上的最小值．

                                                                                           ………………3分

又上的最小值為-1，所以a>1．……4分

   （2）令

函數(shù)的交點個數(shù)即為函數(shù)的零點的個數(shù)．……5分

令解得

隨著x的變化，的變化情況如下表：

	-	0	+
	單調(diào)遞減	極（最）小值2+lna	單調(diào)遞增

                     …………7分

①當恒大于0，函數(shù)無零點．……8分

②當由上表，函數(shù)有且僅有一個零點．

                            ……9分

③顯然

內(nèi)單調(diào)遞減，

所以內(nèi)有且僅有一個零點                 …………10分

當

由指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)增長速度的快慢，知存在

使得

從而

因而

又內(nèi)單調(diào)遞增，上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，

所以內(nèi)有且僅有一個零點．   …………11分

因此，有且僅有兩個零點．

綜上，的圖象無交點；當的圖象有且僅有一個交點；的圖像有且僅有兩個交點．……12分