Question

(本小題滿分13分)為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度（單位：cm）滿足關系：，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．

（Ⅰ）求的值及的表達式；

（Ⅱ）隔熱層修建多厚時，總費用達到最小，并求最小值．

 

Answer 1

【答案】

（I）   

 （II）當隔熱層修建5cm厚時，總費用達到最小值70萬元.

【解析】函數(shù)的實際應用題，我們要經(jīng)過析題→建�！�解�！�還原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮．將實際的最大（�。┗瘑栴}，利用函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（�。┦亲顑�(yōu)化問題中，最常見的思路之一。

（1））由建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關系C（x）, 若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．我們可得C（0）=8，得k=80，進而得到 C(x), 建造費用為C₁（x）=6x，則根據(jù)隔熱層建造費用與10年的能源消耗費用之和為f（x），我們不難得到f（x）的表達式．

（2）由（1）中所求的f（x）的表達式，我們利用導數(shù)法，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性易求出總費用f（x）的最小值．

（I）設隔熱層厚度為x cm，由題設，每年能源消耗費用為，

    再由

    而建造費用為

    最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為

  6分

   （II）

    解得（舍去）.

    當時，    當

故x=5是的最小值點，對應的最小值為

當隔熱層修建5cm厚時，總費用達到最小值70萬元.                13分