Question

已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx-x+1，若xf′（x）≤x²+ax+1在區(qū)間（0，+∞）恒成立，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式求出導(dǎo)函數(shù)f'（x），代入xf'（x）≤x²+ax+1，將a分離出來，然后利用導(dǎo)數(shù)研究不等式另一側(cè)的最值，從而求出參數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）
求導(dǎo)函數(shù)，可得f′(x)=

x+1

x

+lnx-1=lnx+

1

x

，
∴xf′（x）=xlnx+1，
題設(shè)xf′（x）≤x²+ax+1等價于lnx-x≤a，
令g（x）=lnx-x，則g′（x）=

1

x

，
當(dāng)0＜x＜1時，g′（x）＞0；當(dāng)x≥1時，g′（x）≤0，
∴x=1是g（x）的最大值點(diǎn)，
∴g（x）≤g（1）=-1，
綜上，a的取值范圍是[-1，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，以及利用參數(shù)分離法求參數(shù)的取值范圍，同時考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．