Question

【題目】如圖，設橢圓 + =1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1 ， F2 ， 點D在橢圓上，DF1⊥F1F2 ， =2 ，△DF1F2的面積為 ． （Ⅰ）求該橢圓的標準方程；
（Ⅱ）是否存在圓心在y軸上的圓，使圓在x軸的上方與橢圓有兩個交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線互相垂直并分別過不同的焦點？若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），其中c2=a2﹣b2 ， 由 =2 ，得|DF1|= = c，
從而 = |DF1||F1F2|= c2= ，故c=1．
從而|DF1|= ，由DF1⊥F1F2 ， 得 = + = ，
因此|DF2|= ，
所以2a=|DF1|+|DF2|=2 ，故a= ，b2=a2﹣c2=1，
因此，所求橢圓的標準方程為 +y2=1；
（Ⅱ）設圓心在y軸上的圓C與橢圓 +y2=1相交，P1（x1 ， y1），P2（x2 ， y2）是兩個交點，

y1＞0，y2＞0，F(xiàn)1P1 ， F2P2是圓C的切線，且F1P1⊥F2P2 ， 由圓和橢圓的對稱性，易知x2=﹣x1 ， y1=y2 ， |P1P2|=2|x1|，
由（Ⅰ）知F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），所以 =（x1+1，y1）， =（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥F2P2 ， 得﹣ + =0，
由橢圓方程得1﹣ = ，即3 +4x1=0，解得x1=﹣ 或x1=0．
當x1=0時，P1 ， P2重合，此時題設要求的圓不存在；
當x1=﹣ 時，過P1 ， P2 ， 分別與F1P1 ， F2P2垂直的直線的交點即為圓心C，設C（0，y0）
由F1P1 ， F2P2是圓C的切線，知CP1⊥F1P1 ， 得 =﹣1，而|y1|=|x1+1|= ，
故y0= ，
故圓C的半徑|CP1|= = ．
綜上，存在滿足題設條件的圓，其方程為x2+ =
【解析】（Ⅰ）設F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），依題意，可求得c=1，易求得|DF1|= = ，|DF2|= ，從而可得2a=2 ，于是可求得橢圓的標準方程；（Ⅱ）設圓心在y軸上的圓C與橢圓 +y2=1相交，P1（x1 ， y1），P2（x2 ， y2）是兩個交點，依題意，利用圓和橢圓的對稱性，易知x2=﹣x1 ， y1=y2 ， |P1P2|=2|x1|，由F1P1⊥F2P2 ， 得x1=﹣ 或x1=0，分類討論即可求得圓心及半徑，從而可得的方程．