Question

3．求函數(shù)f（x）=|x²-a²|在區(qū)間[-1，1]上的最大值M（a）的最小值．

Answer 1

分析 由題意可得函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，因此討論M（a）的值域只需在x∈[0，1]這一范圍內(nèi)進(jìn)行，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性及a²與1的大小分類討論求解M（a），再由單調(diào)性即可得到最小值．

解答 解：由題意可得函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
因此討論M（a）的值域只需在x∈[0，1]這一范圍內(nèi)進(jìn)行；   
（1）當(dāng)0≤a²＜1時，則
當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）在[0，a]上單調(diào)遞減，在[a，1]上單調(diào)遞增，
所以f（x）在[0，a]內(nèi)的最大值為f（0）=a²，
而f（x）在[a，1]上的最大值為f（1）=1-a²，
由f（1）＞f（0）得1-a²＞a²，即0＜a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)a∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）時，M（a）=f（1）=1-a²，
同理，當(dāng)a∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）時，M（a）=f（0）=a²，
（2）當(dāng)a²≥1時，函數(shù)在[0，1]上為減函數(shù)，所以M（a）=f（0）=a²，
綜上，M（a）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{a}^{2}，0＜a＜\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}，a≥\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$
所以M（a）在[0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]上為減函數(shù)且在[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）為增函數(shù)，
綜上易得M（a）的最小值為M（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了偶函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，其實(shí)由分析可得M（a）=f（0）或f（1），所以可直接通過比較f（0）與f（1）的大小得出M（a）的解析式從而可求．