Question

已知函數(shù)（其中）.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在上有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）先求函數(shù)的定義域與導(dǎo)數(shù)，對是否在定義域內(nèi)以及在定義域內(nèi)與進行大小比較，從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）在（1）的條件下結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與零點存在定理對端點值或極值的正負進行限制，從而求出參數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）函數(shù)定義域為，

，

①當(dāng)，即時，

令，得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，

令，得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；

②當(dāng)，即時，

令，得或，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，

令，得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；

③當(dāng)，即時，恒成立，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；

（2）①當(dāng)時，由（1）可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，在單調(diào)遞增，

所以在上的最小值為，

由于，

要使在上有且只有一個零點，

需滿足或，解得或，

所以當(dāng)或時，在上有且只有一個零點；

②當(dāng)時，由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

且，，

所以當(dāng)時，在上有且只有一個零點；

③當(dāng)時，由（1）可知，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

又因為，所以當(dāng)時，總有，

因為，

所以，

所以在區(qū)間內(nèi)必有零點，

又因為在內(nèi)單調(diào)遞增，

從而當(dāng)時，在上有且只有一個零點，

綜上所述，當(dāng)或或時，在上有且只有一個零點.

考點：1.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與導(dǎo)數(shù)；2.分類討論；3.函數(shù)的零點；4.零點存在定理